【新】バランス理論の数式表現その３（３人の相互作用）：【独自研究】ソシオン理論：SSブログ

	ブログをはじめるログイン

【新】バランス理論の数式表現その２（自.. ｜【新】バランス理論の数式表現その４（自.. ブログトップ

【新】バランス理論の数式表現その３（３人の相互作用） [編集]

　前回の【新】バランス理論の数式表現その２（自分の評価も考慮）では、ハイダーのバランス理論を数式表現する際に次の(1)～(6)の式を仮定して、どのようなふるまいをするか確認するために(2)と(4)以外は一定にした状態で Wac(t) と Wbc(t) がどのように変化するかグラフで示した。

\( \begin{cases} W_{ab}(t+dt) =\dfrac{W_{aa}(t) \cdot W_{ab}(t) + W_{ac}(t) \cdot W_{cb}(t)}{|W_{aa}(t)| + |W_{ac}(t)| }\cdots(1)\\ \\ W_{ac}(t+dt) =\dfrac{W_{aa}(t) \cdot W_{ac}(t) + W_{ab}(t) \cdot W_{bc}(t)}{|W_{aa}(t)| + |W_{ab}(t)| }\cdots(2)\\ \\ W_{ba}(t+dt) =\dfrac{W_{bb}(t) \cdot W_{ba}(t) + W_{bc}(t) \cdot W_{ca}(t)}{|W_{bb}(t)| + |W_{bc}(t)| }\cdots(3)\\ \\ W_{bc}(t+dt) =\dfrac{W_{bb}(t) \cdot W_{bc}(t) + W_{ba}(t) \cdot W_{ac}(t)}{|W_{bb}(t)| + |W_{ba}(t)| }\cdots(4)\\ \\ W_{ca}(t+dt) =\dfrac{W_{cc}(t) \cdot W_{ca}(t) + W_{cb}(t) \cdot W_{ba}(t)}{|W_{cc}(t)| + |W_{cb}(t)| }\cdots(5)\\ \\ W_{cb}(t+dt) =\dfrac{W_{cc}(t) \cdot W_{cb}(t) + W_{ca}(t) \cdot W_{ab}(t)}{|W_{cc}(t)| + |W_{ca}(t)| }\cdots(6)\\ \end{cases} \)

　ここでは、ａ、ｂ、ｃのそれぞれの荷重の初期状態（ Waa(0), Wab(0), Wac(0), Wba(0), Wbb(0), Wbc(0), Wca(0), Wcb(0), Wcc(0) ）を変えて、それぞれの荷重（ Wab(t), Wac(t), Wba(t), Wbc(t), Wca(t), Wcb(t) ）がどのように変化するかグラフで見てみる。数が多いので個別の考察は省く。

　ハイダーのバランス理論では、次の(A)～(F)の状態では安定で、(G)～(L)の状態では不安定である。そのことを踏まえながら以下の図を見てほしい。

\( \begin{cases} W_{ab}(t) \cdot W_{bc}(t) \cdot W_{ac}(t) > 0\cdots(A)\\ W_{ab}(t) \cdot W_{cb}(t) \cdot W_{ac}(t) > 0\cdots(B)\\ W_{ba}(t) \cdot W_{ac}(t) \cdot W_{bc}(t) > 0\cdots(C)\\ W_{ba}(t) \cdot W_{ca}(t) \cdot W_{bc}(t) > 0\cdots(D)\\ W_{ca}(t) \cdot W_{ab}(t) \cdot W_{cb}(t) > 0\cdots(E)\\ W_{ca}(t) \cdot W_{ba}(t) \cdot W_{cb}(t) > 0\cdots(F)\\ W_{ab}(t) \cdot W_{bc}(t) \cdot W_{ac}(t) < 0\cdots(G)\\ W_{ab}(t) \cdot W_{cb}(t) \cdot W_{ac}(t) < 0\cdots(H)\\ W_{ba}(t) \cdot W_{ac}(t) \cdot W_{bc}(t) < 0\cdots(I)\\ W_{ba}(t) \cdot W_{ca}(t) \cdot W_{bc}(t) < 0\cdots(J)\\ W_{ca}(t) \cdot W_{ab}(t) \cdot W_{cb}(t) < 0\cdots(K)\\ W_{ca}(t) \cdot W_{ba}(t) \cdot W_{cb}(t) < 0\cdots(L)\\ \end{cases} \)

　ちなみに自己評価（ Waa(t), Wbb(t), Wcc(t) ）がマイナスの場合は次のように考えると、常に不安定である。

\( \begin{cases} W_{aa}(t) \cdot W_{ab}(t) \cdot W_{ab}(t) < 0\cdots(M)\\ W_{aa}(t) \cdot W_{ac}(t) \cdot W_{ac}(t) < 0\cdots(N)\\ W_{bb}(t) \cdot W_{ba}(t) \cdot W_{ba}(t) < 0\cdots(O)\\ W_{bb}(t) \cdot W_{bc}(t) \cdot W_{bc}(t) < 0\cdots(P)\\ W_{cc}(t) \cdot W_{ca}(t) \cdot W_{ca}(t) < 0\cdots(Q)\\ W_{cc}(t) \cdot W_{cb}(t) \cdot W_{cb}(t) < 0\cdots(R)\\ \end{cases} \)

　初期状態を Waa(0)=1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=1, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1 にすると、それぞれの荷重は次の図１のように変化する。

図１荷重の変化（Waa(0)=1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=1, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1）

　初期状態を Waa(0)=1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1 にすると、それぞれの荷重は次の図２のように変化する。

図２荷重の変化（Waa(0)=1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1）

　初期状態を Waa(0)=10, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1 にすると、それぞれの荷重は次の図３のように変化する。

図３荷重の変化（Waa(0)=10, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1）

　初期状態を Waa(0)=1, Wab(0)=2, Wac(0)=-2, Wba(0)=2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1 にすると、それぞれの荷重は次の図４のように変化する。

図４荷重の変化（Waa(0)=1, Wab(0)=2, Wac(0)=-2, Wba(0)=2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1）

　初期状態を Waa(0)=-1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1 にすると、それぞれの荷重は次の図５のように変化する。

図５荷重の変化（Waa(0)=-1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1）

　初期状態を Waa(0)=1, Wab(0)=-2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1 にすると、それぞれの荷重は次の図６のように変化する。

図６荷重の変化（Waa(0)=1, Wab(0)=-2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1）

　初期状態を Waa(0)=1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=-2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1 にすると、それぞれの荷重は次の図７のように変化する。

図７荷重の変化（Waa(0)=1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=-2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1）

　初期状態を Waa(0)=1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=-1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1 にすると、それぞれの荷重は次の図８のように変化する。

図８荷重の変化（Waa(0)=1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=-1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1）

　初期状態を Waa(0)=-1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=-1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1 にすると、それぞれの荷重は次の図９のように変化する。

図９荷重の変化（Waa(0)=-1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=-1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1）

　初期状態を Waa(0)=-1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=-2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1 にすると、それぞれの荷重は次の図10のように変化する。

図10 荷重の変化（Waa(0)=-1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=-2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1）

　初期状態を Waa(0)=1, Wab(0)=-2, Wac(0)=0, Wba(0)=-2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1 にすると、それぞれの荷重は次の図11のように変化する。

図11 荷重の変化（Waa(0)=1, Wab(0)=-2, Wac(0)=0, Wba(0)=-2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1）

　初期状態を Waa(0)=1, Wab(0)=-2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=-1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1 にすると、それぞれの荷重は次の図12のように変化する。

図12 荷重の変化（Waa(0)=1, Wab(0)=-2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=-1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1）

　初期状態を Waa(0)=-1, Wab(0)=-2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=-1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1 にすると、それぞれの荷重は次の図13のように変化する。

図13 荷重の変化（Waa(0)=-1, Wab(0)=-2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=-1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1）

　初期状態を Waa(0)=-1, Wab(0)=-2, Wac(0)=0, Wba(0)=-2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1 にすると、それぞれの荷重は次の図14のように変化する。

図14 荷重の変化（Waa(0)=-1, Wab(0)=-2, Wac(0)=0, Wba(0)=-2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1）

　初期状態を Waa(0)=-1, Wab(0)=-2, Wac(0)=0, Wba(0)=-2, Wbb(0)=-1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1 にすると、それぞれの荷重は次の図15のように変化する。

図15 荷重の変化（Waa(0)=-1, Wab(0)=-2, Wac(0)=0, Wba(0)=-2, Wbb(0)=-1, Wbc(0)=1, Wca(0)=1, Wcb(0)=1, Wcc(0)=1）

　次回は、上の式(1)～(6)で荷重が０に収束することがある件について考察する。

（追記：2022/10/26）
　上の式(1)～(6)の式では自己評価の荷重（ Waa(t) 、Wbb(t)、Wcc(t) ）がマイナスの場合にも同じ式で良いのか疑問が生じたので、修正案を考えました。
　以下の式です。

\( \begin{cases} W_{ab}(t+dt) =\dfrac{|W_{aa}(t)| \cdot W_{ab}(t) + W_{ac}(t) \cdot W_{cb}(t)}{|W_{aa}(t)| + |W_{ac}(t)| }\cdots(1')\\ \\ W_{ac}(t+dt) =\dfrac{|W_{aa}(t)| \cdot W_{ac}(t) + W_{ab}(t) \cdot W_{bc}(t)}{|W_{aa}(t)| + |W_{ab}(t)| }\cdots(2')\\ \\ W_{ba}(t+dt) =\dfrac{|W_{bb}(t)| \cdot W_{ba}(t) + W_{bc}(t) \cdot W_{ca}(t)}{|W_{bb}(t)| + |W_{bc}(t)| }\cdots(3')\\ \\ W_{bc}(t+dt) =\dfrac{|W_{bb}(t)| \cdot W_{bc}(t) + W_{ba}(t) \cdot W_{ac}(t)}{|W_{bb}(t)| + |W_{ba}(t)| }\cdots(4')\\ \\ W_{ca}(t+dt) =\dfrac{|W_{cc}(t)| \cdot W_{ca}(t) + W_{cb}(t) \cdot W_{ba}(t)}{|W_{cc}(t)| + |W_{cb}(t)| }\cdots(5')\\ \\ W_{cb}(t+dt) =\dfrac{|W_{cc}(t)| \cdot W_{cb}(t) + W_{ca}(t) \cdot W_{ab}(t)}{|W_{cc}(t)| + |W_{ca}(t)| }\cdots(6')\\ \end{cases} \)

　修正案の式よりもこの記事の式の方が良い場合のことを考慮して、この記事は残しますが、修正案でのグラフは後の「【新】バランス理論の数式表現その５（３人の相互作用：修正案）」を見てください。