【新】バランス理論の数式表現 その５（３人の相互作用：修正案）
前回の【新】バランス理論の数式表現 その４（自分の評価も考慮：修正案）では、ハイダーのバランス理論を数式表現する際に次の(1)～(6)の式を仮定して、どのようなふるまいをするか確認するために(2)と(4)以外は一定にした状態で Wac(t) と Wbc(t) がどのように変化するかグラフで示した。
\( \begin{cases} W_{ab}(t+dt) = \dfrac{|W_{aa}(t)| \cdot W_{ab}(t) + W_{ac}(t) \cdot W_{cb}(t)}{|W_{aa}(t)| + |W_{ac}(t)|}\cdots(1)\\ \\ W_{ac}(t+dt) = \dfrac{|W_{aa}(t)| \cdot W_{ac}(t) + W_{ab}(t) \cdot W_{bc}(t)}{|W_{aa}(t)| + |W_{ab}(t)|}\cdots(2)\\ \\ W_{ba}(t+dt) = \dfrac{|W_{bb}(t)| \cdot W_{ba}(t) + W_{bc}(t) \cdot W_{ca}(t)}{|W_{bb}(t)| + |W_{bc}(t)|}\cdots(3)\\ \\ W_{bc}(t+dt) = \dfrac{|W_{bb}(t)| \cdot W_{bc}(t) + W_{ba}(t) \cdot W_{ac}(t)}{|W_{bb}(t)| + |W_{ba}(t)|}\cdots(4)\\ \\ W_{ca}(t+dt) = \dfrac{|W_{cc}(t)| \cdot W_{ca}(t) + W_{cb}(t) \cdot W_{ba}(t)}{|W_{cc}(t)| + |W_{cb}(t)|}\cdots(5)\\ \\ W_{cb}(t+dt) = \dfrac{|W_{cc}(t)| \cdot W_{cb}(t) + W_{ca}(t) \cdot W_{ab}(t)}{|W_{cc}(t)| + |W_{ca}(t)|}\cdots(6)\\ \end{cases} \)
ここでは、ａ、ｂ、ｃのそれぞれの荷重の初期状態（ Waa(0), Wab(0), Wac(0), Wba(0), Wbb(0), Wbc(0), Wca(0), Wcb(0), Wcc(0) ）を変えて、それぞれの荷重（ Wab(t), Wac(t), Wba(t), Wbc(t), Wca(t), Wcb(t) ）がどのように変化するかグラフで見てみる。数が多いので個別の詳細な考察は省く。
ハイダーのバランス理論では、次の(A)～(F)の状態では安定で、(G)～(L)の状態では不安定である。そのことを踏まえながら以下の図を見てほしい。
\( \begin{cases} W_{ab}(t) \cdot W_{bc}(t) \cdot W_{ac}(t) > 0\cdots(A)\\ W_{ab}(t) \cdot W_{cb}(t) \cdot W_{ac}(t) > 0\cdots(B)\\ W_{ba}(t) \cdot W_{ac}(t) \cdot W_{bc}(t) > 0\cdots(C)\\ W_{ba}(t) \cdot W_{ca}(t) \cdot W_{bc}(t) > 0\cdots(D)\\ W_{ca}(t) \cdot W_{ab}(t) \cdot W_{cb}(t) > 0\cdots(E)\\ W_{ca}(t) \cdot W_{ba}(t) \cdot W_{cb}(t) > 0\cdots(F)\\ W_{ab}(t) \cdot W_{bc}(t) \cdot W_{ac}(t) < 0\cdots(G)\\ W_{ab}(t) \cdot W_{cb}(t) \cdot W_{ac}(t) < 0\cdots(H)\\ W_{ba}(t) \cdot W_{ac}(t) \cdot W_{bc}(t) < 0\cdots(I)\\ W_{ba}(t) \cdot W_{ca}(t) \cdot W_{bc}(t) < 0\cdots(J)\\ W_{ca}(t) \cdot W_{ab}(t) \cdot W_{cb}(t) < 0\cdots(K)\\ W_{ca}(t) \cdot W_{ba}(t) \cdot W_{cb}(t) < 0\cdots(L)\\ \end{cases} \)
ちなみに自己評価（ Waa(t), Wbb(t), Wcc(t) ）がマイナスの場合は次のように考えると常に不安定であるが、上の式(1)～(6)を見ればわかるように、自己評価がプラスでもマイナスでも結果は同じで安定する。
\( \begin{cases} W_{aa}(t) \cdot W_{ab}(t) \cdot W_{ab}(t) < 0\cdots(M)\\ W_{aa}(t) \cdot W_{ac}(t) \cdot W_{ac}(t) < 0\cdots(N)\\ W_{bb}(t) \cdot W_{ba}(t) \cdot W_{ba}(t) < 0\cdots(O)\\ W_{bb}(t) \cdot W_{bc}(t) \cdot W_{bc}(t) < 0\cdots(P)\\ W_{cc}(t) \cdot W_{ca}(t) \cdot W_{ca}(t) < 0\cdots(Q)\\ W_{cc}(t) \cdot W_{cb}(t) \cdot W_{cb}(t) < 0\cdots(R)\\ \end{cases} \)
【新】バランス理論の数式表現 その４（自分の評価も考慮：修正案）
【新】バランス理論の数式表現 その２（自分の評価も考慮）と【新】バランス理論の数式表現 その３（３人の相互作用）では、ハイダーのバランス理論を数式で表現する際に、次の式(1)～(6)を仮定した。
\( \begin{cases} W_{ab}(t+dt) =\dfrac{W_{aa}(t) \cdot W_{ab}(t) + W_{ac}(t) \cdot W_{cb}(t)}{|W_{aa}(t)| + |W_{ac}(t)| }\cdots(1)\\ \\ W_{ac}(t+dt) =\dfrac{W_{aa}(t) \cdot W_{ac}(t) + W_{ab}(t) \cdot W_{bc}(t)}{|W_{aa}(t)| + |W_{ab}(t)| }\cdots(2)\\ \\ W_{ba}(t+dt) =\dfrac{W_{bb}(t) \cdot W_{ba}(t) + W_{bc}(t) \cdot W_{ca}(t)}{|W_{bb}(t)| + |W_{bc}(t)| }\cdots(3)\\ \\ W_{bc}(t+dt) =\dfrac{W_{bb}(t) \cdot W_{bc}(t) + W_{ba}(t) \cdot W_{ac}(t)}{|W_{bb}(t)| + |W_{ba}(t)| }\cdots(4)\\ \\ W_{ca}(t+dt) =\dfrac{W_{cc}(t) \cdot W_{ca}(t) + W_{cb}(t) \cdot W_{ba}(t)}{|W_{cc}(t)| + |W_{cb}(t)| }\cdots(5)\\ \\ W_{cb}(t+dt) =\dfrac{W_{cc}(t) \cdot W_{cb}(t) + W_{ca}(t) \cdot W_{ab}(t)}{|W_{cc}(t)| + |W_{ca}(t)| }\cdots(6)\\ \end{cases} \)
しかし、自己評価の荷重（ Waa(t) 、Wbb(t)、Wcc(t) ）がマイナスの場合にも同じ式で良いのか疑問が生じたので、修正した次の式(7)～(11)を仮定して考察する。
\( \begin{cases} W_{ab}(t+dt) = \dfrac{|W_{aa}(t)| \cdot W_{ab}(t) + W_{ac}(t) \cdot W_{cb}(t)}{|W_{aa}(t)| + |W_{ac}(t)|}\cdots(7)\\ \\ W_{ac}(t+dt) = \dfrac{|W_{aa}(t)| \cdot W_{ac}(t) + W_{ab}(t) \cdot W_{bc}(t)}{|W_{aa}(t)| + |W_{ab}(t)|}\cdots(8)\\ \\ W_{ba}(t+dt) = \dfrac{|W_{bb}(t)| \cdot W_{ba}(t) + W_{bc}(t) \cdot W_{ca}(t)}{|W_{bb}(t)| + |W_{bc}(t)|}\cdots(9)\\ \\ W_{bc}(t+dt) = \dfrac{|W_{bb}(t)| \cdot W_{bc}(t) + W_{ba}(t) \cdot W_{ac}(t)}{|W_{bb}(t)| + |W_{ba}(t)|}\cdots(10)\\ \\ W_{ca}(t+dt) = \dfrac{|W_{cc}(t)| \cdot W_{ca}(t) + W_{cb}(t) \cdot W_{ba}(t)}{|W_{cc}(t)| + |W_{cb}(t)|}\cdots(11)\\ \\ W_{cb}(t+dt) = \dfrac{|W_{cc}(t)| \cdot W_{cb}(t) + W_{ca}(t) \cdot W_{ab}(t)}{|W_{cc}(t)| + |W_{ca}(t)|}\cdots(12)\\ \end{cases} \)
まずは、【新】バランス理論の数式表現 その２（自分の評価も考慮）と同じように、次のように一部の荷重が変化しないように仮定して試してみる。
\( \begin{cases} W_{ab}(t+dt) = W_{ab}(t) \cdots(13)\\ \\ W_{ac}(t+dt) = \dfrac{|W_{aa}(t)| \cdot W_{ac}(t) + W_{ab}(t) \cdot W_{bc}(t)}{|W_{aa}(t)| + |W_{ab}(t)|}\cdots(14)\\ \\ W_{ba}(t+dt) = W_{ba}(t) \cdots(15)\\ \\ W_{bc}(t+dt) = \dfrac{|W_{bb}(t)| \cdot W_{bc}(t) + W_{ba}(t) \cdot W_{ac}(t)}{|W_{bb}(t)| + |W_{ba}(t)|}\cdots(16)\\ \\ W_{ca}(t+dt) = W_{ca}(t) \cdots(17)\\ \\ W_{cb}(t+dt) = W_{cb}(t) \cdots(18)\\ \end{cases} \)
最初の荷重を Waa(0)=1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=1, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1 にすると、Wac(t) と Wbc(t) は次の図１のように変化する。
図１ Wac(t)、Wbc(t)の変化（Waa(0)=1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=1, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1）
Wac(t) と Wbc(t) は近づいて、一時は逆転するが、共に 0.571429 に収束した。
最初の荷重を Waa(0)=1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1 にすると、Wac(t) と Wbc(t) は次の図２のように変化する。
図２ Wac(t)、Wbc(t)の変化（Waa(0)=1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1）
図１と変えたのは Wba(0) で、図１では Wab(0) よりも小さい 1 だったが、図２では同じ 2 にしてみた。
図１よりも収束が遅れて、Wac(t) と Wbc(t) は Wac(0) と Wbc(0) のちょうど中間の 0.5 に収束した。図１ではｂよりａの方が相手に対する思いが強かったのでｂの評価の方に近づいたが、図２では、双方の思いが同じ強さだったのでちょうど中間になったようなイメージである。
ただし、図１も図２もそれぞれの自己評価が 1 で同じ（ Waa(0)=1, Wbb(0)=1 ）である。これをａの自己評価を高くする（ Waa(0)=10 ）と次の図３のように、もともとのａの評価（ Wac(0)=0 ）に近づいて 0.2 に収束した。
図３ Wac(t)、Wbc(t)の変化（Waa(0)=10, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1）
次に、一部の荷重をマイナスにしてみる。
【新】バランス理論の数式表現 その３（３人の相互作用）
前回の【新】バランス理論の数式表現 その２（自分の評価も考慮）では、ハイダーのバランス理論を数式表現する際に次の(1)～(6)の式を仮定して、どのようなふるまいをするか確認するために(2)と(4)以外は一定にした状態で Wac(t) と Wbc(t) がどのように変化するかグラフで示した。
\( \begin{cases} W_{ab}(t+dt) =\dfrac{W_{aa}(t) \cdot W_{ab}(t) + W_{ac}(t) \cdot W_{cb}(t)}{|W_{aa}(t)| + |W_{ac}(t)| }\cdots(1)\\ \\ W_{ac}(t+dt) =\dfrac{W_{aa}(t) \cdot W_{ac}(t) + W_{ab}(t) \cdot W_{bc}(t)}{|W_{aa}(t)| + |W_{ab}(t)| }\cdots(2)\\ \\ W_{ba}(t+dt) =\dfrac{W_{bb}(t) \cdot W_{ba}(t) + W_{bc}(t) \cdot W_{ca}(t)}{|W_{bb}(t)| + |W_{bc}(t)| }\cdots(3)\\ \\ W_{bc}(t+dt) =\dfrac{W_{bb}(t) \cdot W_{bc}(t) + W_{ba}(t) \cdot W_{ac}(t)}{|W_{bb}(t)| + |W_{ba}(t)| }\cdots(4)\\ \\ W_{ca}(t+dt) =\dfrac{W_{cc}(t) \cdot W_{ca}(t) + W_{cb}(t) \cdot W_{ba}(t)}{|W_{cc}(t)| + |W_{cb}(t)| }\cdots(5)\\ \\ W_{cb}(t+dt) =\dfrac{W_{cc}(t) \cdot W_{cb}(t) + W_{ca}(t) \cdot W_{ab}(t)}{|W_{cc}(t)| + |W_{ca}(t)| }\cdots(6)\\ \end{cases} \)
ここでは、ａ、ｂ、ｃのそれぞれの荷重の初期状態（ Waa(0), Wab(0), Wac(0), Wba(0), Wbb(0), Wbc(0), Wca(0), Wcb(0), Wcc(0) ）を変えて、それぞれの荷重（ Wab(t), Wac(t), Wba(t), Wbc(t), Wca(t), Wcb(t) ）がどのように変化するかグラフで見てみる。数が多いので個別の考察は省く。
ハイダーのバランス理論では、次の(A)～(F)の状態では安定で、(G)～(L)の状態では不安定である。そのことを踏まえながら以下の図を見てほしい。
\( \begin{cases} W_{ab}(t) \cdot W_{bc}(t) \cdot W_{ac}(t) > 0\cdots(A)\\ W_{ab}(t) \cdot W_{cb}(t) \cdot W_{ac}(t) > 0\cdots(B)\\ W_{ba}(t) \cdot W_{ac}(t) \cdot W_{bc}(t) > 0\cdots(C)\\ W_{ba}(t) \cdot W_{ca}(t) \cdot W_{bc}(t) > 0\cdots(D)\\ W_{ca}(t) \cdot W_{ab}(t) \cdot W_{cb}(t) > 0\cdots(E)\\ W_{ca}(t) \cdot W_{ba}(t) \cdot W_{cb}(t) > 0\cdots(F)\\ W_{ab}(t) \cdot W_{bc}(t) \cdot W_{ac}(t) < 0\cdots(G)\\ W_{ab}(t) \cdot W_{cb}(t) \cdot W_{ac}(t) < 0\cdots(H)\\ W_{ba}(t) \cdot W_{ac}(t) \cdot W_{bc}(t) < 0\cdots(I)\\ W_{ba}(t) \cdot W_{ca}(t) \cdot W_{bc}(t) < 0\cdots(J)\\ W_{ca}(t) \cdot W_{ab}(t) \cdot W_{cb}(t) < 0\cdots(K)\\ W_{ca}(t) \cdot W_{ba}(t) \cdot W_{cb}(t) < 0\cdots(L)\\ \end{cases} \)
ちなみに自己評価（ Waa(t), Wbb(t), Wcc(t) ）がマイナスの場合は次のように考えると、常に不安定である。
\( \begin{cases} W_{aa}(t) \cdot W_{ab}(t) \cdot W_{ab}(t) < 0\cdots(M)\\ W_{aa}(t) \cdot W_{ac}(t) \cdot W_{ac}(t) < 0\cdots(N)\\ W_{bb}(t) \cdot W_{ba}(t) \cdot W_{ba}(t) < 0\cdots(O)\\ W_{bb}(t) \cdot W_{bc}(t) \cdot W_{bc}(t) < 0\cdots(P)\\ W_{cc}(t) \cdot W_{ca}(t) \cdot W_{ca}(t) < 0\cdots(Q)\\ W_{cc}(t) \cdot W_{cb}(t) \cdot W_{cb}(t) < 0\cdots(R)\\ \end{cases} \)
【新】バランス理論の数式表現 その２（自分の評価も考慮）
前回の【新】バランス理論の数式表現 その１（単純な積ではダメ）に書いたとおり、ハイダーのバランス理論を数式で表現する際に、次の式(1),(2)のような単純な積では、例えばそれぞれの荷重がプラスの時に値が上昇し続けるなどの問題が生じた。
\( \begin{cases} W_{ac}(t+dt) = W_{ab}(t) \cdot W_{bc}(t) \cdots(1)\\ W_{bc}(t+dt) = W_{ba}(t) \cdot W_{ac}(t) \cdots(2)\\ \end{cases} \)
そこで、今後は次の(3)～(8)の式を仮定して考察する。
\( \begin{cases} W_{ab}(t+dt) =\dfrac{W_{aa}(t) \cdot W_{ab}(t) + W_{ac}(t) \cdot W_{cb}(t)}{|W_{aa}(t)| + |W_{ac}(t)| }\cdots(3)\\ \\ W_{ac}(t+dt) =\dfrac{W_{aa}(t) \cdot W_{ac}(t) + W_{ab}(t) \cdot W_{bc}(t)}{|W_{aa}(t)| + |W_{ab}(t)| }\cdots(4)\\ \\ W_{ba}(t+dt) =\dfrac{W_{bb}(t) \cdot W_{ba}(t) + W_{bc}(t) \cdot W_{ca}(t)}{|W_{bb}(t)| + |W_{bc}(t)| }\cdots(5)\\ \\ W_{bc}(t+dt) =\dfrac{W_{bb}(t) \cdot W_{bc}(t) + W_{ba}(t) \cdot W_{ac}(t)}{|W_{bb}(t)| + |W_{ba}(t)| }\cdots(6)\\ \\ W_{ca}(t+dt) =\dfrac{W_{cc}(t) \cdot W_{ca}(t) + W_{cb}(t) \cdot W_{ba}(t)}{|W_{cc}(t)| + |W_{cb}(t)| }\cdots(7)\\ \\ W_{cb}(t+dt) =\dfrac{W_{cc}(t) \cdot W_{cb}(t) + W_{ca}(t) \cdot W_{ab}(t)}{|W_{cc}(t)| + |W_{ca}(t)| }\cdots(8)\\ \end{cases} \)
もともとの自分の評価を考慮した式で、例えば、全ての荷重がプラスの場合、Wac(t+dt)ではｃの影響がない時はａのもともとの自分の評価Wac(t)とｂの評価Wbc(t)の間に変化するようになっていて、単純な中間ではなくａの自己評価Waa(t)とａが評価するｂの荷重Wab(t)の大きさの違いによってWac(t)よりになったりWbc(t)よりになったりする。
上の(3)～(8)の式では三者ａ、ｂ、ｃが影響し合って変化して解釈が難しいので、まずは次のような一部の荷重が変化しないように仮定して試してみる。
\( \begin{cases} W_{ab}(t+dt) = W_{ab}(t) \cdots(9)\\ \\ W_{ac}(t+dt) =\dfrac{W_{aa}(t) \cdot W_{ac}(t) + W_{ab}(t) \cdot W_{bc}(t)}{|W_{aa}(t)| + |W_{ab}(t)| }\cdots(10)\\ \\ W_{ba}(t+dt) = W_{ba}(t) \cdots(11)\\ \\ W_{bc}(t+dt) =\dfrac{W_{bb}(t) \cdot W_{bc}(t) + W_{ba}(t) \cdot W_{ac}(t)}{|W_{bb}(t)| + |W_{ba}(t)| }\cdots(12)\\ \\ W_{ca}(t+dt) = W_{ca}(t) \cdots(13)\\ \\ W_{cb}(t+dt) = W_{cb}(t) \cdots(14)\\ \end{cases} \)
最初の荷重を Waa(0)=1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=1, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1 にすると、Wac(t) と Wbc(t) は次の図１のように変化する。
図１ Wac(t)、Wbc(t)の変化（Waa(0)=1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=1, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1）
Wac(t) と Wbc(t) は近づいて、一時は逆転するが、共に 0.571429 に収束した。
最初の荷重を Waa(0)=1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1 にすると、Wac(t) と Wbc(t) は次の図２のように変化する。
図２ Wac(t)、Wbc(t)の変化（Waa(0)=1, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1）
図１と変えたのは Wba(0) で、図１では Wab(0) よりも小さい 1 だったが、図２では同じ 2 にしてみた。
図１よりも収束が遅れて、Wac(t) と Wbc(t) は Wac(0) と Wbc(0) のちょうど中間の 0.5 に収束した。図１ではｂよりａの方が相手に対する思いが強かったのでｂの評価の方に近づいたが、図２では、双方の思いが同じ強さだったのでちょうど中間になったようなイメージである。
ただし、図１も図２もそれぞれの自己評価が 1 で同じ（ Waa(0)=1, Wbb(0)=1 ）である。これをａの自己評価を高くする（ Waa(0)=10 ）と次の図３のように、もともとのａの評価（ Wac(0)=0 ）に近づいて 0.2 に収束した。
図３ Wac(t)、Wbc(t)の変化（Waa(0)=10, Wab(0)=2, Wac(0)=0, Wba(0)=2, Wbb(0)=1, Wbc(0)=1）
次に、一部の荷重をマイナスにしてみる。
